不思議な数字カプレカ数についてわかりやすく解説!

カプレカ数 理系

・面白い数字の不思議について知りたい!

・カプレカ数ってなに?

このような方に向けた記事をご用意しました。

本記事では、カプレカ数について実例を交えながら紹介していきます。

また、証明もわかりやすく説明しています。

実際に手を動かしてみてカプレカ数の面白さを実感してください!

カプレカ数とは?

まずカプレカ数の定義を説明していきます。

定義は以下の通りです。

カプレカ数とは、ある数字を並べ替えてできる最大値と最小値の差を取るという操作を繰り返して得られる収束するある値のこと。

定義では分かりにくいと思うので実際に例を用いて説明していきます。

(例1)213

213 → 321 - 123 = 198

198 → 981 - 189 = 792

792 → 972 - 279 = 693

693 → 963 - 369 = 594

594 → 954 - 459 = 495

(例2)121

121 → 211 - 112 = 99

  99 → 990 -   99 = 891

891 → 981 - 189 = 792

792 → 972 - 279 = 693

693 → 963 - 369 = 594

594 → 954 - 459 = 495

(例3)9

9 → 900 -   9 = 891

891 → 981 - 189 = 792

792 → 972 - 279 = 693

693 → 963 - 369 = 594

594 → 954 - 459 = 495

上記の例でもうお分かりかと思いますが3桁の場合、495は唯一のカプレカ数になります。

あなたも是非、思いついた適当な数字でも成立するかやってみてください!

ただし、ゾロ目を選んでしまうと、並び替えてできる最大値と最小値が等しくなるため成立しません。

なぜ3桁のカプレカ数が495なのか

3桁のカプレカ数が495になるかを証明します。

まず3桁の数をとおきます。

そしての数字を並び替えて出来る最大値をN、最小値をN’とします。

NN’を 0 ≦ a ≦ b ≦ c ≦ 9 の条件で一般化して表すと

N  = 100a+10b+c

N’ = 100c+10b+a

ただし、a≠cとする。(a=cのときa=b=cで3桁の数値が等しいため)

このとき、

N - N’ =(100a+10b+c)-(100c+10b+a)= 99(a - c)

よって、3桁のカプレカ数は99の倍数であることが分かります。

ここまで候補が絞れたら、あとは数値を代入して調べるだけです。

いま、3桁のカプレカ数を調べているため 2 ≦ a - c ≦ 9 であることが分かります。

a - c = 2のとき : 198 → 981 - 189 = 792

a - c = 3のとき : 297 → 972 - 279 = 693

a - c = 4のとき : 396 → 963 - 369 = 594

a - c = 5のとき : 495 → 954 - 459 = 495

a - c = 6のとき : 594 → 954 - 459 = 495

a - c = 7のとき : 693 → 963 - 369 = 594

a - c = 8のとき : 792 → 972 - 279 = 693

a - c = 9のとき : 891 → 981 - 189 = 792

したがって、3桁のカプレカ数は495であることが示されました。

4桁のカプレカ数

結論から申し上げますと、4桁のカプレカ数は6174になります。

実例で確認していきましょう!

(例1)8364

8364 → 8643 - 3468 = 5175

5175 → 7551 -  1557 = 5994

5994 → 9954 - 4599 = 5346

5346 → 6543 - 3456 = 3087

3087 → 8730 -  378 = 8352

8352 → 8532 - 2358 = 6174

(例2)1893

1893 → 9831 - 1389 = 8442

8442 → 8442 -  2448 = 5954

5954 → 9554 - 4559 = 4995

4995 → 9954 - 4599 = 5355

5355 → 5553 -  3555 = 1998

1998 → 9981 - 1899 = 8082

8082 → 8820 -   288 = 8532

8532 → 8532 -  2358 = 6174

実はもう一つ定義が…

実は、カプレカ数にはもう一つ別の定義があります。

その定義が以下の通りです。

カプレカ数とは、正の整数を2乗し、それが偶数桁 2n 桁である場合は先頭 n 桁と末尾 n 桁に分け、奇数桁 2n + 1 桁である場合は先頭 n 桁と末尾 n + 1 桁に分けて和をとるという操作により元の値に等しくなる数のこと。

この定義のカプレカ数として知られている703を用いて説明していきます。

(例)703

7032 =494209

これを上3桁 494と下3桁 209に分けて、その和をとると 494 + 209 = 703

よって元の数値と一致。

まとめ

カプレカ数について簡単にまとめます。

定義1:ある数字を並べ替えてできる最大値と最小値の差を取るという操作を繰り返して得られる収束するある値のこと。

定義2:正の整数を2乗し、それが偶数桁 2n 桁である場合は先頭 n 桁と末尾 n 桁に分け、奇数桁 2n + 1 桁である場合は先頭 n 桁と末尾 n + 1 桁に分けて和をとるという操作により元の値に等しくなる数のこと。

定義1でのカプレカ数において

・3桁の唯一のカプレカ数は495

・4桁の唯一のカプレカ数は6174

ちなみに6桁以上のカプレカ数もあるので、ぜひ実際に計算して見つけてみるのも面白いですね!